Desigualdade de Jensen: se \(u\) é côncava e \(w\) é uma variável aleatória, então \(E[u(w)] \le u(E[w])\). Se \(u\) é estritamente côncava e \(w\) não é constante, a desigualdade é estrita.

Com dois resultados, \(w_1\) com probabilidade \(p\) e \(w_2\) com \(1 - p\), fica \[ p\,u(w_1) + (1-p)\,u(w_2) \le u\big(p\,w_1 + (1-p)\,w_2\big), \] que é a definição de concavidade que conheces do cálculo. Jensen estende-a a qualquer distribuição.

Para uma função convexa a desigualdade troca de sentido. Já conheces um caso: \(x^2\) é convexa, logo \(E[w^2] \ge (E[w])^2\), que é \(\operatorname{Var}(w) \ge 0\).

Uma função côncava fica abaixo de cada uma das suas tangentes. Pega na tangente em \(\mu\): \[ u(w) \le u(\mu) + u'(\mu)\,(w - \mu) \quad \text{para todo o } w. \]

Toma o valor esperado dos dois lados. O valor esperado mantém a desigualdade, e \(E[w - \mu] = 0\): \[ E[u(w)] \le u(\mu) + u'(\mu)\,\big(E[w] - \mu\big) = u(\mu) = u(E[w]). \qquad \blacksquare \]

Se \(u\) é estritamente côncava a desigualdade da tangente é estrita para todo o \(w \ne \mu\), por isso o resultado é estrito logo que \(w \ne \mu\) com probabilidade positiva.

Primeira ideia: usar \(u''\), a rapidez com que a utilidade marginal cai. O problema é que \(u\) não é única.

Pega em \(v(w) = a\,u(w) + b\) com \(a > 0\). Então \(E[v(w)] = a\,E[u(w)] + b\), por isso \(v\) ordena todas as apostas exatamente como \(u\), e as duas descrevem as mesmas preferências. Mas \(v'' = a\,u''\), por isso \(u''\) daria um número diferente para a mesma pessoa.

Dividir por \(u'\) elimina o \(a\), já que \(v''/v' = a\,u''/(a\,u') = u''/u'\). Isto dá o coeficiente de aversão absoluta ao risco de Arrow-Pratt: \[A(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)}\] O sinal menos torna-o positivo para um agente avesso ao risco.

Quando \(A(w)\) desce com \(w\), uma pessoa mais rica desgosta menos da mesma aposta em euros. Para uma aposta de 1000 euros isto parece certo: custa muito mais a um estudante do que a um banco.

Confirma tu a terceira linha: \(u' = w^{-\rho}\) e \(u'' = -\rho\, w^{-\rho - 1}\). 📝

Lado direito, uma expansão de Taylor de ordem dois à volta de \(\mu\), e depois o valor esperado: \[ E[u(\mu + \varepsilon)] \approx E\Big[u(\mu) + u'(\mu)\,\varepsilon + \tfrac{1}{2}u''(\mu)\,\varepsilon^2\Big] = u(\mu) + \tfrac{1}{2}u''(\mu)\,\sigma^2. \]

Lado esquerdo, chega a ordem um: \(u(\mu - \pi) \approx u(\mu) - u'(\mu)\,\pi\).

Iguala os dois e resolve em ordem a \(\pi\): \[ \pi \approx \tfrac{1}{2}\,\Big(-\frac{u''(\mu)}{u'(\mu)}\Big)\,\sigma^{2} = \tfrac{1}{2}\,A(\mu)\,\sigma^{2}. \]

\(\varepsilon\) tem o tamanho de \(\sigma\), e o seu termo de primeira ordem tem média zero. Por isso o primeiro termo que sobrevive ao valor esperado é o de \(\varepsilon^2\), do tamanho de \(\sigma^2\).

A resposta \(\pi\) também tem o tamanho de \(\sigma^2\). À esquerda um termo em \(\pi^2\) teria o tamanho de \(\sigma^4\), muito mais pequeno quando o risco é pequeno. Por isso deixamo-lo cair.

A fórmula é para riscos pequenos. Exemplo com \(u = \sqrt{w}\) e uma aposta 50/50 entre 64 e 144: \(\mu = 104\), \(\sigma = 40\). Exato: \(E[u] = (8 + 12)/2 = 10\), logo \(EC = 100\) e \(\pi = 4\). Aproximação: \(\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{208} \cdot 1600 \approx 3{,}85\). Perto.

Logo o prémio de risco é proporcional à variância, e \(A\) é o fator. É uma das razões por que a variância é a medida de risco que vais encontrar em todo o lado em finanças. 📊

Quando \(n \to \infty\) o primeiro termo desaparece e o segundo converge para \(\overline{\operatorname{Cov}}\). A variância individual pode ser eliminada pela diversificação; a covariância média não pode.

Esse resíduo é o risco sistemático: o que fica quando tudo se move junto. É por isso que uma carteira de 500 ações de bancos europeus continua a ser uma aposta na banca europeia.

a) \(E[w] = 0{,}5(4) + 0{,}5(100) = 52\), e \(E[u] = 0{,}5(2) + 0{,}5(10) = 6\) mil euros.

b) \(\sqrt{EC} = 6\), logo \(EC = 36\) mil euros.

c) Prémio de risco \(= 52 - 36 = 16\) mil euros. Quase um terço do valor esperado: é uma aposta muito grande.

d) \(u' = \tfrac{1}{2}w^{-1/2}\) e \(u'' = -\tfrac{1}{4}w^{-3/2}\), logo \(A(w) = 1/(2w) = 1/104\). Com \(\sigma^{2} = 48^{2} = 2304\): \(\tfrac{1}{2}(2304)/104 \approx 11\). A ordem de grandeza certa, mas abaixo de 16: a aproximação é para riscos pequenos, e esta aposta é grande. ✅

✅ D. Um preço único faz a média de tipos que a seguradora não observa. É caro demais para os bons riscos e uma pechincha para os maus, por isso o conjunto de clientes piora a cada ronda. As seguradoras chamam-lhe a espiral da morte.

✅ B. A um preço justo, comprar cobertura tem custo esperado zero e reduz estritamente a variância, por isso uma \(u\) côncava fica com toda. A cobertura parcial (C) é o que acontece quando o prémio leva um carregamento acima do justo, que é o caso do mundo real.

a) \(0{,}5(10\,000) + 0{,}5(4000) = 7000\) euros.

b) A 7000 não vendem: o carro vale mais para eles do que o mercado oferece. Retiram-se.

c) Só ficam limões, os compradores percebem isso e pagam 4000. A metade boa do mercado desapareceu, e ninguém se comportou de forma irracional em nenhum passo. 🍋

d) Uma garantia, uma inspeção independente, a reputação de um stand, uma certificação do fabricante. Cada uma é um sinal caro de falsificar, e é por isso que funciona. ✅

✅ C. A mutualização precisa de riscos perto de independentes. Quando uma cheia atinge todas as apólices ao mesmo tempo, \(\overline{\operatorname{Cov}}\) continua grande por muitas apólices que se façam. É exatamente o termo do risco sistemático da Parte 1, e é por isso que a cobertura de catástrofes é ressegurada ou tem garantia do Estado.

a) \(0{,}05 \times 30\,000 = 1500\) euros.

b) \(1500 \times 1{,}20 = 1800\) euros. Os 300 euros acima do justo são o carregamento.

c) \(E[u] = 0{,}95\sqrt{100\,000} + 0{,}05\sqrt{70\,000} \approx 313{,}65\), logo \(EC \approx 313{,}65^{2} \approx 98\,373\). O máximo que pagaria é \(100\,000 - EC \approx 1627\) euros.

d) Não. 1800 está acima do seu teto de 1627. Mas ao prémio justo de 1500 comprava, e comprava cobertura total, que é a pergunta 4 em números: é o carregamento que torna a cobertura recusável. ✅