Princípios de Economia e Gestão I

Sessão 6 · Incerteza, Risco e Informação Assimétrica

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Introdução

🔁 De Onde Vimos

Até aqui tudo foi certo: o consumidor conhecia os preços, a empresa conhecia os seus custos.

Mas quase nenhuma decisão financeira funciona assim. Hoje entram em cena a incerteza e a informação escondida. 🎲

Esta é a sessão mais próxima do que vais fazer de facto na banca, nos seguros e na gestão de risco. 🛡️

🇵🇹 Tradução para português dos slides em inglês. A versão de referência é a inglesa.

🗺️ O Mapa de Hoje

🎲 Utilidade esperada e aversão ao risco
💶 Equivalente certo e prémio de risco
🌫️ Informação assimétrica: seleção adversa e risco moral
🛡️ Como funcionam os seguros
🧰 Como as seguradoras respondem à informação assimétrica

Parte 1 · Escolha em Incerteza

🎲 Uma Aposta

Ofereço-te uma escolha:

(A) 52 mil € garantidos.

(B) Atirar uma moeda ao ar: 4 mil € se sair coroa, 100 mil € se sair cara.

As duas valem o mesmo em média. A maior parte das pessoas escolhe (A). Porquê? 🤔

🧮 Utilidade Esperada

A resposta: as pessoas não maximizam o valor esperado, maximizam a utilidade esperada.

\[ E[u(w)] = \sum_i p_i \, u(w_i) \]

Cada resultado \(w_i\) acontece com probabilidade \(p_i\), e o que conta é a utilidade que dá, não o euro em si.

📐 Primeiro, uma Ferramenta: a Desigualdade de Jensen

Precisamos de um resultado de probabilidades antes de continuar.

Desigualdade de Jensen: se \(u\) é côncava e \(w\) é uma variável aleatória, então \(E[u(w)] \le u(E[w])\). Se \(u\) é estritamente côncava e \(w\) não é constante, a desigualdade é estrita.

Com dois resultados, \(w_1\) com probabilidade \(p\) e \(w_2\) com \(1 - p\), fica \[ p\,u(w_1) + (1-p)\,u(w_2) \le u\big(p\,w_1 + (1-p)\,w_2\big), \] que é a definição de concavidade que conheces do cálculo. Jensen estende-a a qualquer distribuição.

Para uma função convexa a desigualdade troca de sentido. Já conheces um caso: \(x^2\) é convexa, logo \(E[w^2] \ge (E[w])^2\), que é \(\operatorname{Var}(w) \ge 0\).

📐 Desigualdade de Jensen: Prova

Seja \(\mu = E[w]\), e suponhamos \(u\) diferenciável.

Uma função côncava fica abaixo de cada uma das suas tangentes. Pega na tangente em \(\mu\): \[ u(w) \le u(\mu) + u'(\mu)\,(w - \mu) \quad \text{para todo o } w. \]

Toma o valor esperado dos dois lados. O valor esperado mantém a desigualdade, e \(E[w - \mu] = 0\): \[ E[u(w)] \le u(\mu) + u'(\mu)\,\big(E[w] - \mu\big) = u(\mu) = u(E[w]). \qquad \blacksquare \]

Se \(u\) é estritamente côncava a desigualdade da tangente é estrita para todo o \(w \ne \mu\), por isso o resultado é estrito logo que \(w \ne \mu\) com probabilidade positiva.

📉 Aversão ao Risco É Concavidade

Se \(u\) é côncava, cada euro adicional vale menos do que o anterior (\(u'' < 0\)).

Pela desigualdade de Jensen, para qualquer aposta não degenerada: \[ E[u(w)] < u(E[w]). \]

Aversão ao risco: preferir o valor esperado garantido à aposta. É exatamente a concavidade de \(u\).

📉 Aversão ao Risco É Concavidade

A corda (a aposta) fica abaixo da curva (a certeza). Isso é concavidade.

💶 Equivalente Certo e Prémio de Risco

Equivalente certo (EC): o montante garantido que dá a mesma utilidade que a aposta, \(u(EC) = E[u(w)]\).

Prémio de risco: \(E[w] - EC\). É o que estás disposto a pagar para não suportar o risco.

E é exatamente daqui que vem a disposição a pagar por um seguro. 🛡️

📏 Quão Avesso ao Risco?

“Côncava” é qualitativo. A Ana e o Bruno recusam ambos o lançamento da moeda, mas a Ana pagaria mais do que o Bruno para o evitar. Como medimos isso?

Primeira ideia: usar \(u''\), a rapidez com que a utilidade marginal cai. O problema é que \(u\) não é única.

Pega em \(v(w) = a\,u(w) + b\) com \(a > 0\). Então \(E[v(w)] = a\,E[u(w)] + b\), por isso \(v\) ordena todas as apostas exatamente como \(u\), e as duas descrevem as mesmas preferências. Mas \(v'' = a\,u''\), por isso \(u''\) daria um número diferente para a mesma pessoa.

Dividir por \(u'\) elimina o \(a\), já que \(v''/v' = a\,u''/(a\,u') = u''/u'\). Isto dá o coeficiente de aversão absoluta ao risco de Arrow-Pratt: \[A(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)}\] O sinal menos torna-o positivo para um agente avesso ao risco.

📏 Arrow-Pratt: Alguns Exemplos

\(u(w)\)	\(A(w)\)	Leitura
\(w\)	\(0\)	neutro ao risco, só conta \(E[w]\)
\(\ln w\)	\(1/w\)	desce com a riqueza
\(\dfrac{w^{1-\rho}}{1 - \rho}\), \(\rho > 0\), \(\rho \ne 1\)	\(\rho / w\)	desce com a riqueza
\(-e^{-a w}\)	\(a\)	constante

Quando \(A(w)\) desce com \(w\), uma pessoa mais rica desgosta menos da mesma aposta em euros. Para uma aposta de 1000 euros isto parece certo: custa muito mais a um estudante do que a um banco.

Confirma tu a terceira linha: \(u' = w^{-\rho}\) e \(u'' = -\rho\, w^{-\rho - 1}\). 📝

📐 O Prémio de Risco a partir de Arrow-Pratt

Escreve a aposta como \(w = \mu + \varepsilon\), com \(E[\varepsilon] = 0\) e \(\operatorname{Var}(\varepsilon) = \sigma^2\). O prémio de risco \(\pi\) é definido por \[ u(\mu - \pi) = E[u(\mu + \varepsilon)]. \]

Lado direito, uma expansão de Taylor de ordem dois à volta de \(\mu\), e depois o valor esperado: \[ E[u(\mu + \varepsilon)] \approx E\Big[u(\mu) + u'(\mu)\,\varepsilon + \tfrac{1}{2}u''(\mu)\,\varepsilon^2\Big] = u(\mu) + \tfrac{1}{2}u''(\mu)\,\sigma^2. \]

Lado esquerdo, chega a ordem um: \(u(\mu - \pi) \approx u(\mu) - u'(\mu)\,\pi\).

Iguala os dois e resolve em ordem a \(\pi\): \[ \pi \approx \tfrac{1}{2}\,\Big(-\frac{u''(\mu)}{u'(\mu)}\Big)\,\sigma^{2} = \tfrac{1}{2}\,A(\mu)\,\sigma^{2}. \]

📐 O Prémio de Risco a partir de Arrow-Pratt

Porquê ordem dois à direita e só ordem um à esquerda?

\(\varepsilon\) tem o tamanho de \(\sigma\), e o seu termo de primeira ordem tem média zero. Por isso o primeiro termo que sobrevive ao valor esperado é o de \(\varepsilon^2\), do tamanho de \(\sigma^2\).

A resposta \(\pi\) também tem o tamanho de \(\sigma^2\). À esquerda um termo em \(\pi^2\) teria o tamanho de \(\sigma^4\), muito mais pequeno quando o risco é pequeno. Por isso deixamo-lo cair.

A fórmula é para riscos pequenos. Exemplo com \(u = \sqrt{w}\) e uma aposta 50/50 entre 64 e 144: \(\mu = 104\), \(\sigma = 40\). Exato: \(E[u] = (8 + 12)/2 = 10\), logo \(EC = 100\) e \(\pi = 4\). Aproximação: \(\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{208} \cdot 1600 \approx 3{,}85\). Perto.

Logo o prémio de risco é proporcional à variância, e \(A\) é o fator. É uma das razões por que a variância é a medida de risco que vais encontrar em todo o lado em finanças. 📊

📈 Diversificação

Se a aversão ao risco sai cara, como podemos reduzir o risco sem abdicar do retorno?

Dois ativos com a mesma média e variância \(\sigma^{2}\), detidos meio a meio. Se \(\operatorname{Cov}(X_1, X_2) = 0\): \[ \operatorname{Var}\!\left(\tfrac{1}{2}X_1 + \tfrac{1}{2}X_2\right) = \tfrac{1}{4}\sigma^2 + \tfrac{1}{4}\sigma^2 + 2 \cdot \tfrac{1}{4}\underbrace{\operatorname{Cov}}_{= \,0} = \tfrac{\sigma^2}{2}. \]

O mesmo retorno esperado, metade da variância. Com \(n\) ativos independentes, \(\sigma^{2}/n \to 0\). 📊

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §17.2 “How Households Supply Financial Capital”, “The Tradeoffs between Return and Risk”, que defende a diversificação sem a álgebra.

📈 Diversificação

Acima era a independência que fazia todo o trabalho. Em geral, para \(n\) ativos com o mesmo peso:

\[\operatorname{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{n}\,\overline{\sigma^{2}} + \frac{n-1}{n}\,\overline{\operatorname{Cov}}\]

Quando \(n \to \infty\) o primeiro termo desaparece e o segundo converge para \(\overline{\operatorname{Cov}}\). A variância individual pode ser eliminada pela diversificação; a covariância média não pode.

Esse resíduo é o risco sistemático: o que fica quando tudo se move junto. É por isso que uma carteira de 500 ações de bancos europeus continua a ser uma aposta na banca europeia.

❓ Escolha Múltipla 1

A um agente com \(u(w) = \sqrt{w}\) é oferecida uma aposta justa. Ele:

A. Aceita, porque o valor esperado não muda.

B. É indiferente, porque \(E[w]\) é o mesmo em ambos os casos.

C. Recusa, porque \(\sqrt{\cdot}\) é côncava e Jensen dá \(E[u(w)] < u(E[w])\).

D. Não consegue decidir sem saber a sua riqueza inicial.

✅ C. Uma aposta justa deixa a média igual e acrescenta variância, e uma \(u\) côncava não gosta de variância. Repara que D está errada aqui por uma razão concreta: o sinal da resposta não depende da riqueza, só a sua dimensão.

❓ Escolha Múltipla 2

O prémio de risco é:

A. A diferença entre o valor esperado e o equivalente certo.

B. O preço cobrado pela seguradora.

C. Sempre igual à perda esperada.

D. Zero para qualquer agente avesso ao risco.

✅ A. É \(E[w] - EC\): quanto o agente está disposto a abdicar, em média, para se livrar do risco. É o que torna possível a margem de uma seguradora. Não é o prémio do seguro em si.

🧮 Pergunta Numérica

Utilidade \(u(w) = \sqrt{w}\), e uma aposta 50/50 entre 4 e 100 mil euros.

a) Encontra \(E[w]\) e \(E[u(w)]\).
b) Encontra o equivalente certo.
c) Encontra o prémio de risco.
d) Calcula \(A(w)\) em \(w = E[w]\) e compara \(\tfrac{1}{2}A\sigma^{2}\) com a tua resposta a (c).

✅ Solução

a) \(E[w] = 0{,}5(4) + 0{,}5(100) = 52\), e \(E[u] = 0{,}5(2) + 0{,}5(10) = 6\) mil euros.

b) \(\sqrt{EC} = 6\), logo \(EC = 36\) mil euros.

c) Prémio de risco \(= 52 - 36 = 16\) mil euros. Quase um terço do valor esperado: é uma aposta muito grande.

d) \(u' = \tfrac{1}{2}w^{-1/2}\) e \(u'' = -\tfrac{1}{4}w^{-3/2}\), logo \(A(w) = 1/(2w) = 1/104\). Com \(\sigma^{2} = 48^{2} = 2304\): \(\tfrac{1}{2}(2304)/104 \approx 11\). A ordem de grandeza certa, mas abaixo de 16: a aproximação é para riscos pequenos, e esta aposta é grande. ✅

Parte 2 · Informação Assimétrica

🌫️ Informação Imperfeita

Raramente decidimos com informação perfeita.

Compras um telemóvel usado sem saber o estado real da bateria.

Informação assimétrica: quando um dos lados da transação sabe mais do que o outro.

🍋 O Mercado de Carros Usados

Um exemplo clássico (Akerlof). Há carros bons e “limões” (os maus). Só o vendedor sabe qual é qual.

O comprador, sem saber, só paga um preço médio.

A esse preço médio, quem tem um carro bom não vende (vale mais). Só ficam os limões. 🍋

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §16.1 “The Problem of Imperfect Information and Asymmetric Information”, “‘Lemons’ and Other Examples of Imperfect Information”, onde o Marvin anda à procura de um carro usado. O artigo original é Akerlof (1970), “The Market for Lemons”.

📉 Seleção Adversa

Seleção adversa: quando a informação escondida faz com que os “piores” tipos dominem o mercado.

O preço médio expulsa os bons, o que baixa ainda mais a qualidade e o preço. O mercado pode colapsar.

Guarda esta ideia: é exatamente o problema central dos seguros. 🔁

🎭 Risco Moral

Um problema diferente, que surge depois de o contrato ser assinado.

Risco moral: quando alguém protegido de uma consequência muda o seu comportamento e assume mais risco.

Com o carro totalmente seguro contra roubo, talvez o deixes destrancado mais vezes. 🚗

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §16.2, “The Moral Hazard Problem”; a seleção adversa vem logo a seguir, em “The Adverse Selection Problem”.

🔀 Seleção Adversa vs Risco Moral

	Quando ocorre	O problema
Seleção adversa	antes do contrato	escondes o teu tipo
Risco moral	depois do contrato	mudas o teu comportamento

Ambos nascem da informação assimétrica, mas em momentos diferentes. ⏱️

🎓 Sinalização

Como se resolve a informação escondida? Um dos lados pode sinalizar a sua qualidade.

Um curso sinaliza competência. Uma garantia sinaliza que o carro é bom.

O sinal só funciona se for caro de imitar para quem não tem a qualidade.

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §16.1, “Mechanisms to Reduce the Risk of Imperfect Information”: garantias, reputação, referências e o resto.

❓ Escolha Múltipla 3

Uma seguradora oferece uma única apólice a um único preço a toda a gente. Os clientes de baixo risco saem, por isso a seguradora sobe o preço, por isso saem mais clientes. Isto é:

A. Risco moral, já que o comportamento mudou depois do contrato.

B. A mutualização do risco a funcionar exatamente como previsto.

C. Um equilíbrio de sinalização.

D. Seleção adversa, porque o preço não consegue separar tipos escondidos.

✅ D. Um preço único faz a média de tipos que a seguradora não observa. É caro demais para os bons riscos e uma pechincha para os maus, por isso o conjunto de clientes piora a cada ronda. As seguradoras chamam-lhe a espiral da morte.

❓ Escolha Múltipla 4

A um agente avesso ao risco é oferecido um seguro a um prémio atuarialmente justo (o prémio é igual à perda esperada). Ele compra:

A. Nenhum seguro, já que o prémio é igual à perda esperada e não há ganho.

B. Seguro total, eliminando todo o risco.

C. Cobertura parcial, para equilibrar o prémio com o risco.

D. Uma quantidade que depende da dimensão da perda.

✅ B. A um preço justo, comprar cobertura tem custo esperado zero e reduz estritamente a variância, por isso uma \(u\) côncava fica com toda. A cobertura parcial (C) é o que acontece quando o prémio leva um carregamento acima do justo, que é o caso do mundo real.

🧮 Pergunta Numérica

Num stand, metade dos carros vale 10 000 euros (bons) e metade 4000 euros (limões). Os compradores não os conseguem distinguir, e são neutros ao risco.

a) Qual é o máximo que um comprador paga?
b) O que acontece aos donos dos carros bons?
c) Qual é o novo preço de mercado depois de eles saírem?
d) Indica uma instituição que, na prática, impede que isto aconteça.

✅ Solução

a) \(0{,}5(10\,000) + 0{,}5(4000) = 7000\) euros.

b) A 7000 não vendem: o carro vale mais para eles do que o mercado oferece. Retiram-se.

c) Só ficam limões, os compradores percebem isso e pagam 4000. A metade boa do mercado desapareceu, e ninguém se comportou de forma irracional em nenhum passo. 🍋

d) Uma garantia, uma inspeção independente, a reputação de um stand, uma certificação do fabricante. Cada uma é um sinal caro de falsificar, e é por isso que funciona. ✅

Parte 3 · Seguros

🛡️ O que É um Seguro

Um seguro troca uma perda grande e incerta por um custo pequeno e certo: o prémio.

Pagas 300 € por ano para não arriscar uma perda de 20 000 € num acidente.

Porque é que estás disposto a fazer isto?

Porque és avesso ao risco: preferes a certeza.

🎲 A Ideia da Mutualização do Risco

A seguradora junta muitos clientes. Individualmente, o risco é imprevisível.

Mas ao longo de milhares de apólices, a fração de sinistros é estável e previsível.

Mutualização do risco: juntar muitos riscos independentes torna o total previsível.

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §16.2 “Insurance and Imperfect Information”, “How Insurance Works”, que abre com uma tabela de quem paga cada tipo de apólice e quando é que ela paga.

📊 A Lei dos Grandes Números

Com mais apólices, a fração de sinistros aproxima-se do valor verdadeiro (10%). A linha vermelha é o risco verdadeiro.

💶 Como se Fixa o Prémio

O prémio cobre a perda esperada mais custos e margem.

Se a probabilidade de sinistro é 2% e a perda é 20 000 €, a perda esperada é 0,02 × 20 000 = 400 €.

O prémio fica um pouco acima de 400 €, para cobrir custos administrativos e margem. 🧮

📖 Fonte: OpenStax Micro 3e, §16.2, “Risk Groups and Actuarial Fairness”, que é de onde vem o termo atuarialmente justo.

⚠️ Os Dois Inimigos dos Seguros

Os problemas da Parte 2 voltam, agora do lado da seguradora:

🍋 Seleção adversa: quem sabe que é de alto risco é quem mais quer cobertura.

🎭 Risco moral: quem está seguro pode tornar-se menos cuidadoso.

🧰 Como Respondem as Seguradoras

🔍 Triagem: questionários médicos, historial de condução, idade do carro.

💶 Franquias: o segurado paga parte da perda, o que o mantém cuidadoso (isto combate o risco moral).

📊 Prémios diferenciados: preços por perfil de risco, para combater a seleção adversa.

🏦 Porque É que Isto Te Interessa

Gerir a informação assimétrica é o coração do negócio dos seguros e da banca.

Avaliar risco de crédito, fixar prémios, desenhar franquias: tudo isso é aplicar o que vimos hoje. 💼

❓ Escolha Múltipla 5

Uma seguradora cobre uma região contra cheias. A mutualização do risco funciona mal aqui porque:

A. As perdas são grandes demais para se segurarem a qualquer preço.

B. Os segurados vão comportar-se com menos cuidado depois de cobertos.

C. Os riscos estão fortemente correlacionados, por isso o termo da covariância não desaparece.

D. A lei dos grandes números não se aplica a fenómenos naturais.

✅ C. A mutualização precisa de riscos perto de independentes. Quando uma cheia atinge todas as apólices ao mesmo tempo, \(\overline{\operatorname{Cov}}\) continua grande por muitas apólices que se façam. É exatamente o termo do risco sistemático da Parte 1, e é por isso que a cobertura de catástrofes é ressegurada ou tem garantia do Estado.

❓ Escolha Múltipla 6

Uma franquia, em que o segurado paga a primeira parte de qualquer sinistro, funciona sobretudo:

A. Deixando o segurado exposto o suficiente para continuar cuidadoso.

B. Aumentando a receita da seguradora por apólice.

C. Eliminando a necessidade de fixar preços por perfil de risco.

D. Tornando a apólice obrigatória.

✅ A. Visa o risco moral, deixando parte da perda com a pessoa cujo comportamento a afeta. A triagem e os preços por risco são as ferramentas apontadas à seleção adversa.

🧮 Pergunta Numérica

A probabilidade de sinistro é de 5 por cento e a perda é de 30 000 euros.

a) Calcula a perda esperada.
b) A seguradora acrescenta um carregamento de 20 por cento para custos e margem. Qual é o prémio?
c) Um cliente com \(u(w) = \sqrt{w}\) e riqueza de 100 000 euros enfrenta este risco. Qual é o máximo que pagaria por cobertura total?
d) Compra a apólice ao preço de (b)?

✅ Solução

a) \(0{,}05 \times 30\,000 = 1500\) euros.

b) \(1500 \times 1{,}20 = 1800\) euros. Os 300 euros acima do justo são o carregamento.

c) \(E[u] = 0{,}95\sqrt{100\,000} + 0{,}05\sqrt{70\,000} \approx 313{,}65\), logo \(EC \approx 313{,}65^{2} \approx 98\,373\). O máximo que pagaria é \(100\,000 - EC \approx 1627\) euros.

d) Não. 1800 está acima do seu teto de 1627. Mas ao prémio justo de 1500 comprava, e comprava cobertura total, que é a pergunta 4 em números: é o carregamento que torna a cobertura recusável. ✅

Síntese

🎯 O que Levar desta Sessão

🌫️ A informação assimétrica gera seleção adversa (antes) e risco moral (depois do contrato).

🛡️ Um seguro troca uma perda incerta por um custo certo, e assenta na mutualização do risco.

🧰 As seguradoras combatem a informação assimétrica com triagem, franquias e prémios diferenciados.

👋 Fim do Bloco 1

A seguir vem o Teste Intercalar, e depois passamos à macroeconomia: PIB, inflação, moeda e política económica. 🌍

Bom estudo. 🙌